解析

微分方程式

次の微分方程式の解のうち、初期条件「\(x = -3\)のとき\(y = 3\)」を満たすものを求めよ。
\[
(2 x + y + 3) + (2 x + y + 6) \frac{{\rm d} y}{{\rm d} x} = 0
\]

\[
z = 2 x + y
\]
とおくと
\[
\frac{{\rm d} z}{{\rm d} x} = 2 + \frac{{\rm d} y}{{\rm d} x}
\]
から、解くべき微分方程式は
\[\begin{align}
(z + 3) + (z + 6)\left(\frac{{\rm d} z}{{\rm d} x} – 2 \right) &= 0 \\
(z + 6) \frac{{\rm d} z}{{\rm d} x} &= z + 9
\end{align}\]
と変形出来る。従って
\[\begin{align}
\frac{z + 6}{z + 9} {\rm d} z &= {\rm d} x \\
\left(1 – 3 \frac{1}{z + 9} \right) {\rm d} z &= {\rm d} x \\
z – 3 \log(z + 9) &= x + C
\end{align}\]
ここに\(C\)は積分定数である。

今、初期条件\(x = -3\)のとき\(y = 3\)を満たすものを求めるので、\(x = – 3\)のとき\(z = -3\)を代入して
\[\begin{align}
-3 – 3 \log 6 &= -3 + C \\
C &= – 3 \log 6
\end{align}\]
と定まる。従って
\[\begin{align}
z – 3 \log(z + 9) &= x – 3 \log 6 \\
z – x &= 3 \log\frac{z + 9}{6} \\
{\rm e}^{\frac{z – x}{3}} &= \frac{z + 9}{6} \\
2 x + y + 9 &= 6 {\rm e}^{\frac{x + y}{3}}
\end{align}\]
と求まる。