解析

区分求積法

(1) 次の積分を区分求積法によって計算せよ。
\[
\int_0^1 (x^2 + x) {\rm d} x
\]

(2) 次の関数\(f(x)\)の導関数を求めよ。
\[
f(x) = \int_1^{3 x} (t^5 + t)^10 {\rm d} t
\]

区間\([0,1]\)を\(n\)等分し、\(x_0 = 0, x_1 = 1/n, x_2 = 2/n, \cdots, x_k = k/n, \cdots , x_n=1\)とする。
各区間での関数の値を一番左の\(x\)の値で代表させることにすると、その面積は
\[\begin{align}
I_n &= \sum_{k = 0}^{n – 1} \left(x_k^2 + x_k \right)\frac{1}{n} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n – 1} \left( \left(\frac{k}{n} \right)^2 + \left(\frac{k}{n}\right) \right) \\
&= \frac{1}{n^3} \sum_{k = 0}^{n – 1} k^2 + \frac{1}{n^2} \sum_{k = 0}^{n – 1} k \\
&= \frac{1}{n^3} \frac{(n -1) n (2 n -1)}{6} + \frac{1}{n^2} \frac{(n – 1) n}{2}
\end{align}\]
で近似できる。ここで、\(n \to \infty\)の極限を取ると
\[\begin{align}
I &= \lim_{n \to \infty} I_n \\
&= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \\
&= \frac{5}{6}
\end{align}\]
と求まる。

(2)
\[\begin{align}
\frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x} &= \frac{d}{dx} \int_1^{3 x} (t^5 + t)^{10} {\rm d} t \\
&= 3 \frac{\rm d}{3{\rm d}x} \int_1^{3 x} (t^5 + t)^{10} {\rm d} t \\
&= 3 ((3 x)^5 + 3 x)^{10}
\end{align}\]