解析

三角関数

\[
\sin20^\circ \cdot \sin40^\circ \cdot \sin60^\circ \cdot \sin80^\circ
\]
の値を求めなさい。(この値は有理数です。)

\[\begin{align}
20^\circ &= \frac{\pi}{9} \\
40^\circ &= \frac{2 \pi}{9} \\
60^\circ &= \frac{3 \pi}{9} \\
80^\circ &= \frac{4 \pi}{9}
\end{align}\]


\[\begin{align}
\sin x &= \frac{{\rm e}^{i x} – {\rm e}^{- i x}}{2 i} \\
\cos x &= \frac{{\rm e}^{i x} + {\rm e}^{- i x}}{2}
\end{align}\]
に注意して、問題の式を全て書き直すと

\[\begin{align}
&\sin20^\circ \cdot \sin40^\circ \cdot \sin60^\circ \cdot \sin80^\circ \\
&= \frac{1}{(2 i)^4} ({\rm e}^{\frac{\pi i}{9}} – {\rm e}^{- \frac{\pi i}{9}}) \cdot ({\rm e}^{\frac{2 \pi i}{9}} – {\rm e}^{- \frac{2 \pi i}{9}}) \cdot ({\rm e}^{\frac{3 \pi i}{9}} – {\rm e}^{- \frac{3 \pi i}{9}}) \cdot ({\rm e}^{\frac{4 \pi i}{9}} – {\rm e}^{- \frac{4 \pi i}{9}}) \\
&= \frac{1}{16}({\rm e}^{\frac{3 \pi i}{9}} – {\rm e}^{-\frac{\pi i}{9}} – {\rm e}^{\frac{\pi i}{9}} + {\rm e}^{- \frac{3 \pi i}{9}}) \cdot ({\rm e}^{\frac{7 \pi i}{9}} – {\rm e}^{-\frac{\pi i}{9}} – {\rm e}^{\frac{\pi i}{9}} + {\rm e}^{- \frac{7 \pi i}{9}}) \\
&= \frac{1}{16}({\rm e}^{\frac{10 \pi i}{9}} – {\rm e}^{\frac{2 \pi i}{9}} – {\rm e}^{\frac{4 \pi i}{9}} + {\rm e}^{- \frac{4 \pi i}{9}} \\
&\ \ \ – {\rm e}^{\frac{6 \pi i}{9}} + {\rm e}^{- \frac{2 \pi i}{9}} + 1 – {\rm e}^{-\frac{8 \pi i}{9}} \\
&\ \ \ – {\rm e}^{\frac{8 \pi i}{9}} +1 + {\rm e}^{\frac{2 \pi i}{9}} – {\rm e}^{-\frac{6 \pi i}{9}} \\
&\ \ \ + {\rm e}^{\frac{4 \pi i}{9}} – {\rm e}^{-\frac{4\pi i}{9}} – {\rm e}^{-\frac{2\pi i}{9}} + {\rm e}^{-\frac{10 \pi i}{9}}) \\
&= \frac{1}{16}\left(2 \cos(\frac{10 \pi}{9}) – 2 \cos(\frac{6 \pi}{9}) + 2 – 2 \cos(\frac{8 \pi}{9})\right) \\
&= \frac{3}{16}
\end{align}\]
と求まる。