解析

ガウス積分

\[\begin{align}
f(x) &= \left(\int_0^{x} {\rm e}^{- t^2} {\rm d} t\right)^2 \\
g(x) &= \int_0^1 \frac{{\rm e}^{- x^2 (1 + t^2)}}{1 + t^2} {\rm d} t
\end{align}\]
とする。この時、以下の問いに答えよ。

(1) \(f(x) + g(x)\)は定数となることを示せ。

(2) \(\displaystyle{\lim_{x \to \infty}} f(x)\)を求めよ。

以上の事から、ガウス積分の値が
\[
\int_{-\infty}^{\infty} {\rm e}^{- x^2} {\rm d} x = \sqrt{\pi}
\]
と分かる。

(1) \(f(x) + g(x)\)の\(x\)による微分を考えると
\[\begin{align}
f'(x) + g'(x) &= 2 \int_0^x {\rm e}^{- t^2} {\rm d} t \cdot {\rm e}^{- x^2} – 2 x \int_0^1 (1 + t^2) \frac{{\rm e}^{- x^2 (1 + t^2)}}{1 + t^2} {\rm d} t \\
&= 2 {\rm e}^{- x^2} \int_0^x {\rm e}^{- t^2} {\rm d} t – 2 x {\rm e}^{- x^2} \int_0^1 {\rm e}^{- (x t)^2} {\rm d} t \\
&= 2 {\rm e}^{- x^2} \int_0^x {\rm e}^{- t^2} {\rm d} t – 2 {\rm e}^{- x^2} \int_0^x {\rm e}^{- s^2} {\rm d} s \\
&= 0
\end{align}\]
となる。ここで\(s = x t\)なる変数変換を行った。
従って、\(f(x) + g(x)\)は定数であることが分かるので、特に\(x = 0\)として
\[\begin{align}
f(x) + g(x) &= f(0) + g(0) \\
&= 0 + \int_0^1 \frac{1}{1 + t^2} {\rm d} t \\
&= \left[\tan^{-1} t \right]_0^1 \\
&= \frac{\pi}{4}
\end{align}\]
と求まる。

(2) 今、\(x \to \infty\)とすると\(g(x) \to 0\)に注意すると
\[\begin{align}
\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) &= \lim_{x \to \infty} f(x) \\
&= \left(\int_0^{\infty} {\rm e}^{- t^2} {\rm d} t \right)^2
\end{align}\]
一方で、(1)より、この値は\(\frac{\pi}{4}\)であると分かっているので
\[\begin{align}
\lim_{x \to \infty} f(x) &= \frac{\pi}{4} \\
\left(\int_0^{\infty} {\rm e}^{- x^2} {\rm d} x\right)^2 &= \frac{\pi}{4}
\end{align}\]
と求まる。