無限級数の和

\(|x| < 2\)において収束する次の無限等比級数を考える。 \[ \sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n = \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^3}{2^3} + \cdots \] この級数は\(|x| < 2\)において次の値に収束する。 \[ \frac{x}{2}\frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = \frac{x}{2 - x} = -1 + \frac{2}{2 - x} \] この同じ値である2つの式を\(x = 0\)から\(x = 1\)まで積分する。（この積分範囲で級数は収束する。） 最初の級数は \[\begin{align} \int_0^1 \sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n {\rm d} x &= \int_0^1 \left(\frac{x}{2} + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^3}{2^3} + \cdots \right) {\rm d} x \\ &= \left[\frac{x^2}{2\cdot 2} + \frac{x^3}{2^2 \cdot 3} + \cdots \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2^2 \cdot 3} + \frac{1}{2^3 \cdot 4} + \cdots \end{align}\] これに\(\frac{1}{2}\)をかけて\(\frac{1}{2}\)を足せば、求めるべき級数となる。 \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \int_0^1 \sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n {\rm d} x = \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2^2 \cdot 2} + \frac{1}{2^3 \cdot 3} + \cdots \] 同様の計算を第2式に対して行うと \[\begin{align} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \int_0^1 \sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n {\rm d} x &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \int_0^1 \left(-1 + \frac{2}{2 - x} \right) {\rm d} x \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-1 + \left[-2 \log(2 - x)\right]_0^1 \right) \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-1 + 2 \log 2 \right) \\ &= \log 2 \end{align}\] となり、求める無限級数の和は \[ \log 2 \] となる事が示される。