平均と分散

\(X\)の平均と分散を求めるために、\(|r| < 1\)として、次の無限級数を計算する。 \[\begin{align} \frac{1}{1 - r} &= 1 + r^1 + r^2 + r^3 + r^4 + r^5 + \cdots \\ \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 - r}\right) &= 1 r^0 + 2 r^1 + 3 r^2 + 4 r^3 + 5 r^4 + \cdots \\ r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 - r}\right) &= 1 r^1 + 2 r^2 + 3 r^3 + 4 r^4 + 5 r^5 + \cdots \\ \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 - r}\right)\right) &= 1^2 r^0 + 2^2 r^1 + 3^2 r^2 + 4^2 r^3 + 5^2 r^4 + \cdots \\ r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 - r}\right)\right) &= 1^2 r^1 + 2^2 r^2 + 3^2 r^3 + 4^2 r^4 + 5^2 r^5 + \cdots \end{align}\] (1) \(X\)の平均\(\langle X \rangle \)は\(r = \frac{5}{8}\)として \[\begin{align} \langle X \rangle &= \sum_{k = 0} k P(X = k) \\ &= \sum_{k = 1} k \frac{3}{8} r^k \\ &= \frac{3}{8} ( 1 r^1 + 2 r^2 + 3 r^3 + \cdots ) \\ &= \frac{3}{8} r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 - r}\right) \\ &= \frac{3}{8} \frac{r}{(1 - r)^2} \\ &= \frac{5}{3} \end{align}\] (2) 同様にして、\(X\)の分散\(\sigma\)は \[\begin{align} \langle X^2 \rangle &= \sum_{k = 0} k^2 \frac{3}{8} r^k \\ &= \frac{3}{8} r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(r \frac{\rm d}{{\rm d} r} \left(\frac{1}{1 - r}\right)\right) \\ &= \frac{3}{8} \frac{r (1 + r)}{(1 - r)^3} \\ &= \frac{65}{9} \end{align}\] に注意して \[\begin{align} \sigma &= \langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2 \\ &= \frac{65}{9} - \frac{25}{9} \\ &= \frac{40}{9} \end{align}\] と求まる。