べき乗の計算

$$x^x\cdot y^y=z^z$$
なる関係式は対数をとると
$$x\log x+y\log y=z\log z$$
なる関係式となる事に注意する。

左辺の第1項は
$$\begin{array}{rl}x\log x& =6^8\log 6^8\\ & =8\cdot 2^8\cdot 3^8(\log 2+\log 3)\\ & =2^{11}\cdot 3^8(\log 2+\log 3)\end{array}$$
となり、第2項は
$$\begin{array}{rl}y\log y& ={12}^6\log {12}^6\\ & =2^{12}\cdot 3^6\cdot 6(\log 4+\log 3)\\ & =2^{14}\cdot 3^7\log 2+2^{13}\cdot 3^7\log 3\end{array}$$
となるので、
$$\begin{array}{rl}x\log x+y\log y& =(2^{14}\cdot 3^7+2^{11}\cdot 3^8)\log 2+(2^{13}\cdot 3^7+2^{11}\cdot 3^8)\log 3\\ & =2^{11}\cdot 3^7((2^3+3^1)\log 2+(2^2+3^1)\log 3)\\ & =2^{11}\cdot 3^7\log (2^{11}\cdot 3^7)\end{array}$$
となる。

従って
$$z=2^{11}\cdot 3^7$$
と求まる。