\[
x=6^6, y=12^6
\]とおくとき、
\[
x^x \cdot y^y
\]
はある正の整数\(z\)によって
\[z^z\]
と表される。
この\(z\)を求め、素因数分解した形で答えよ。
\[
x^x \cdot y^y = z^z
\]
なる関係式は対数をとると
\[
x \log x + y \log y = z \log z
\]
なる関係式となる事に注意する。
左辺の第1項は
\[\begin{align}
x \log x &=
6^8 \log 6^8 \\
&= 8 \cdot 2^8 \cdot 3^8 (\log 2 + \log 3) \\
&= 2^{11} \cdot 3^8 (\log 2 + \log 3)
\end{align}\]
となり、第2項は
\[\begin{align}
y \log y &=
12^6 \log 12^6 \\
&= 2^{12} \cdot 3^6 \cdot 6 (\log 4 + \log 3) \\
&= 2^{14} \cdot 3^7 \log 2 + 2^{13} \cdot 3^7 \log 3
\end{align}\]
となるので、
\[\begin{align}
x \log x + y \log y
&= (2^{14} \cdot 3^7 + 2^{11} \cdot 3^8) \log 2 + (2^{13} \cdot 3^7 + 2^{11} \cdot 3^8) \log 3 \\
&= 2^{11} \cdot 3^7 \left((2^3 + 3^1) \log 2 + (2^2 + 3^1) \log 3 \right) \\
&= 2^{11} \cdot 3^7 \log(2^{11} \cdot 3^7)
\end{align}\]
となる。
従って
\[
z = 2^{11} \cdot 3^7
\]
と求まる。
