自己同型群の性質

$G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の元として、$e=(0,0),a=(1,0),b=(0,1),c=(1,1)$ の４つの元を考える。ここで、$G$ の元はこの４つに限られる。

任意の $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$ の元 $f$ は準同型写像であるので、$G$ の零元である $e$ を $e$ に移す。
すなわち、$f(e)=e$ となる。
従って、$f$ は零元 $e$ 以外の元 $\{a,b,c\}$ の置換を与える。
この対応により写像 $\varphi :\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)\to S_3$ を作ることが出来る。
あからさまに、写像 $\varphi$ を書けば $f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$ に対して
$$\begin{array}{rl}\varphi (f)(e)& =e\\ \varphi (f)(a)& =f(a)\\ \varphi (f)(b)& =f(b)\\ \varphi (f)(c)& =f(c)\end{array}$$
となる。

このとき、写像 $\varphi$ は群の同型写像となっていることが分かる。
すなわち、$f_1,f_2\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$ とするとき
$$\begin{array}{rl}\varphi (f_2\circ f_1)& =\varphi (f_2)\bullet \varphi (f_1)\end{array}$$
となり、群の準同型写像であることが分かり、さらに、$\varphi$ は全単射である。

従って
$$\begin{array}{r}\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)\cong S_3\end{array}$$
が言える。