準同型定理の応用(2)｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$G^{'} = {f (X) = p X + q | p, q \in R, p \neq 0}$ を $R$ 上の1次関数全体の集合とする。
また
$\begin{aligned} G & = {(\begin{array}{c} a & b \\ 0 & c \end{array}) | a, b, c \in R, a c \neq 0}, \\ H & = {(\begin{array}{c} a & b \\ 0 & c \end{array}) \in G | a c = 1} \end{aligned}$
とする。
また、写像 $φ$ を
$\begin{aligned} φ : G & \to G^{'}, \\ (\begin{array}{c} a & b \\ 0 & c \end{array}) & \mapsto \frac{a}{c} X + \frac{b}{c} \end{aligned}$
で定義し、写像 $ψ : H \to G^{'}$ を $φ$ の定義域を $H$ に制限した写像とする。
このとき、以下の問の答えよ。

(a) $G^{'}$ は写像の合成に関して群をなすことを示せ。

(b) $G$ は行列の乗法に関して群をなすことを示せ。
また、 $H$ は $G$ の正規部分群であることを示せ。

(d) $ψ$ は群の準同型写像であることを示せ。
また、 $I m ψ, K e r ψ$ を求めよ。
さらに、 $ψ$ に準同型定理を用いると、どのような群の同型が得られるか？

(a)
$f (X) = p_{1} X + q_{1}, g (X) = p_{2} X + q_{2} \in G^{'}$ とする。
このとき、 $g \circ f$ は
$\begin{aligned} g \circ f (X) & = g (p_{1} X + q_{1}) \\ = p_{2} (p_{1} X + q_{1}) + q_{2} \\ = p_{2} p_{1} X + (q_{2} + p_{2} q_{1}) \end{aligned}$
となり、 $p_{1}, q_{1} \neq 0$ より、 $p_{1} q_{1} \neq 0$ であるので、 $g \circ f \in G^{'}$ が言える。

また、単位元は $p = 1, q = 0$ とした $f (X) = X$ である。

さらに、任意の $G^{'}$ の元 $f (X) = p X + q \in G^{'}$ に対して、その逆元 $f^{- 1}$ は $p \neq 0$ に注意して
$\begin{aligned} f^{- 1} (X) & = \frac{1}{p} X - \frac{q}{p} \end{aligned}$
により得られる。

従って、 $G^{'}$ は写像の合成に関して群をなすことが分かる。

(b)
$G$ の任意の元 $g_{1}, g_{2} \in G$ を
$\begin{aligned} g_{1} & = (\begin{array}{c} a_{1} & b_{1} \\ 0 & c_{1} \end{array}), \\ g_{2} & = (\begin{array}{c} a_{2} & b_{2} \\ 0 & c_{2} \end{array}) \end{aligned}$
とすると、その積 $g_{2} g_{1}$ は
$\begin{aligned} g_{2} g_{1} & = (\begin{array}{c} a_{2} & b_{2} \\ 0 & c_{2} \end{array}) (\begin{array}{c} a_{1} & b_{1} \\ 0 & c_{1} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} a_{2} a_{1} & a_{2} b_{1} + b_{2} c_{1} \\ 0 & c_{2} c_{1} \end{array}) \end{aligned}$
となり、 $a_{2} a_{1} c_{2} c_{1} \neq 0$ より、これは $G$ の元であることが分かる。

また、単位元は明らかに
$\begin{aligned} e & = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \end{aligned}$
である。

さらに、任意の $G$ の元
$\begin{aligned} g & = (\begin{array}{c} a & b \\ 0 & c \end{array}) \in G \end{aligned}$
に対して、その逆元は
$\begin{aligned} g^{- 1} & = \frac{1}{a c} (\begin{array}{c} c & - b \\ 0 & a \end{array}) \end{aligned}$
であり、これも $G$ の元である。

従って、 $G$ は行列の乗法に関して群をなすことが分かる。

さらに、 $H$ の任意の元
$\begin{aligned} h & = (\begin{array}{c} a & b \\ 0 & c \end{array}) \end{aligned}$
に関して、 $a c = d e t h$ であることに注意すれば、 $h_{1}, h_{2}$ を $H$ の任意の元とするときに、行列式の性質
$\begin{aligned} d e t (h_{2} h_{1}) & = (d e t h_{2}) (d e t h_{1}) \end{aligned}$
から、 $h_{2} h_{1} \in H$ が言える。

また、単位元も明らかに $H$ に含まれる。

さらに、 $G$ が群であることを示した証明の過程において、その逆元を見れば、 $H$ の任意の元 $h \in H$ の逆元もその行列式が1となり $h^{- 1} \in H$ となることが分かる。

従って、 $H$ は $G$ の部分群となる。

さらに、 $g, h$ を2行2列の正則行列とした時に成り立つ行列式の性質
$\begin{aligned} d e t (g h g^{- 1}) & = (d e t g) (d e t h) (d e t g^{- 1}) \\ = (d e t g) (d e t h) (d e t g)^{- 1} \\ = d e t h \end{aligned}$
から、 $g \in G$ とした時に $g H g^{- 1} \subset H$ が言えて、同様の議論を $g^{- 1} \in G$ に対して行えば $g^{- 1} H (g^{- 1})^{- 1} \subset H$ が言えるので、結局 $g H g^{- 1} = H$ が成り立つ。
すなわち、 $H$ は群 $G$ における正規部分群をなすことが分かる。

(c)
$g_{1}, g_{2} \in G$ とし
$\begin{aligned} g_{i} & = (\begin{array}{c} a_{i} & b_{i} \\ 0 & c_{i} \end{array}) (i = 1, 2) \end{aligned}$
とすると、
$\begin{aligned} φ (g_{2} g_{1}) & = φ ((\begin{array}{c} a_{2} a_{1} & a_{2} b_{1} + b_{2} c_{1} \\ 0 & c_{2} c_{1} \end{array})) \\ = \frac{a_{2} a_{1}}{c_{2} c_{1}} X + \frac{a_{2} b_{1} + b_{2} c_{1}}{c_{2} c_{1}} \end{aligned}$
となる。一方で
$\begin{aligned} φ (g_{2}) \circ φ (g_{1}) & = g_{2} (\frac{a_{1}}{c_{1}} X + \frac{b_{1}}{c_{1}}) \\ = \frac{a_{2}}{c_{2}} (\frac{a_{1}}{c_{1}} X + \frac{b_{1}}{c_{1}}) + \frac{b_{2}}{c_{2}} \\ = \frac{a_{2} a_{1}}{c_{2} c_{1}} X + \frac{a_{2} b_{1} + b_{2} c_{1}}{c_{2} c_{1}} \end{aligned}$
となることから、写像 $φ$ は群の準同型写像であることが分かる。

さらに、明らかに $I m φ = G^{'}$ であり、
$\begin{aligned} K e r φ & = a E_{2} (a \neq 0) \end{aligned}$
であることが分かる。ここに、 $E_{2}$ は2行2列の単位行列である。

従って、準同型定理より
$\begin{aligned} G / (a E_{2}) & ≅ G^{'} (a \neq 0) \end{aligned}$
が言える。

(d)
(c) と全く同様にして、 $ψ$ が群の準同型写像であることが分かる。
また、 $I m ψ = {f (X) = p X + q | p, q \in R, p > 0}$ であり、さらに、 $K e r ψ = {E_{2}, - E_{2}}$ であることが分かる。

従って、準同型定理より
$\begin{aligned} H / {E_{2}, - E_{2}} & ≅ {f (X) = p X + q | p, q \in R, p > 0} \end{aligned}$
が言える。

準同型定理の応用(2)

イデアルの性質

ハミルトンの４元数体

ユークリッドの互助法

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