巡回群の部分群

(a)
$G$ を巡回群とし、その部分群 $H$ を考える。
巡回群 $G$ の生成元の一つを $a$ とすると $G = \langle a \rangle$ と表すことが出来る。

ここで、$G$ の部分群 $H$ を考える。
もしも、$H = \langle e \rangle$ であれば、これは明らかに巡回群であるので、主張は正しいことが分かる。

$H \neq \langle e \rangle$ の場合、単位元でない $h \in H, h \neq e$ が存在し、$h = a^k$ と表すことが出来る。
ここで $k$ を $h = a^k \in H$ となる最小の自然数とするとき、$\langle a^k \rangle = H$ が次のようにして言える。

明らかに、$\langle a^k \rangle \subset H$ である。
一方で、$H$ の任意の元は $G$ の元でもあるので $i \in \mathbb{Z}$ として、$a^i$ と表すことが出来る。
ここで、$i$ を $k$ で割って $i = k q + r\ (0 \le r < m)$ とすると、
\begin{align}
a^r &= a^i \circ (a^k)^{-q} \in H
\end{align}
となる。
ところが、$k$ は $a^k$ となる最小の自然数であったので、$r = 0$ が言える。

従って、$\langle a^k \rangle = H$、すなわち、$H$ は巡回群であることが言える。

(b)
群 $G$ の位数を $n = |G|$ とする。
また、$G$ の部分群 $H$ の位数を $d = |H|$ とし、$d$ は $n$ の約数であるとする。

このとき、(a) の主張より、ある $a \in G$ が存在して、$\langle a^m \rangle$ と表す事ができる。
ここで、$m$ は $a^m \in H$ となる最小の自然数とする。

このとき、$H$ の位数が $d$ であるので、$(a^{m})^d = a^{m d} = e$ となり、$m d$ は $n$ の倍数であることが分かる。
従って、$m$ は $n/d$ の倍数である。

これより、$\langle a^m \rangle \subset \langle a^{n/d} \rangle$ が言える。

一方、$\langle a^{n/d}\rangle$ も位数が $d$ の群であることから、$\langle a^m \rangle = \langle a^{n/d}\rangle$ であることが言える。

これより、$G$ の位数 $d$ の部分群は唯一つ存在し $\langle a^{n/d}\rangle$ であることが分かる。