巡回群の部分群

(a)
$G$ を巡回群とし、その部分群 $H$ を考える。
巡回群 $G$ の生成元の一つを $a$ とすると $G=⟨a⟩$ と表すことが出来る。

ここで、$G$ の部分群 $H$ を考える。
もしも、$H=⟨e⟩$ であれば、これは明らかに巡回群であるので、主張は正しいことが分かる。

$H\ne ⟨e⟩$ の場合、単位元でない $h\in H,h\ne e$ が存在し、$h=a^k$ と表すことが出来る。
ここで $k$ を $h=a^k\in H$ となる最小の自然数とするとき、$⟨a^k⟩=H$ が次のようにして言える。

明らかに、$⟨a^k⟩\subset H$ である。
一方で、$H$ の任意の元は $G$ の元でもあるので $i\in \mathbb{Z}$ として、$a^i$ と表すことが出来る。
ここで、$i$ を $k$ で割って $i=kq+r(0\le r<m)$ とすると、
$$\begin{array}{rl}{a}^r& =a^i\circ (a^k{)}^{-q}\in H\end{array}$$
となる。
ところが、$k$ は $a^k$ となる最小の自然数であったので、$r=0$ が言える。

従って、$⟨a^k⟩=H$、すなわち、$H$ は巡回群であることが言える。

(b)
群 $G$ の位数を $n=|G|$ とする。
また、$G$ の部分群 $H$ の位数を $d=|H|$ とし、$d$ は $n$ の約数であるとする。

このとき、(a) の主張より、ある $a\in G$ が存在して、$⟨a^m⟩$ と表す事ができる。
ここで、$m$ は $a^m\in H$ となる最小の自然数とする。

このとき、$H$ の位数が $d$ であるので、$(a^m{)}^d=a^{md}=e$ となり、$md$ は $n$ の倍数であることが分かる。
従って、$m$ は $n/d$ の倍数である。

これより、$⟨a^m⟩\subset ⟨a^{n/d}⟩$ が言える。

一方、$⟨a^{n/d}⟩$ も位数が $d$ の群であることから、$⟨a^m⟩=⟨a^{n/d}⟩$ であることが言える。

これより、$G$ の位数 $d$ の部分群は唯一つ存在し $⟨a^{n/d}⟩$ であることが分かる。