右剰余類の数と左剰余類の数｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$G$ を群とし、 $H$ を $G$ の部分群とする。
$G / H$ を $G$ の $H$ に関する左剰余類全体のなす集合とし、
$H ∖ G$ を $G$ の $H$ に関する右剰余類全体のなす集合とする。

(a) 左剰余類 $a H (a \in G)$ に、右剰余類 $H a^{- 1}$ を対応させる写像 $ϕ : G / H \to H ∖ G$ が矛盾なく定義出来ることを示せ。

(b) (a) で定義した写像 $ϕ : G / H \to H ∖ G$ は全単射であることを示せ。
従って、 $| G / H | = | H ∖ G |$ が成り立つ。

(a)
題意を示すために必要なことは、 $a, b \in G$ とするとき、 $a H = b H$ ならば $H a^{- 1} = H b^{- 1}$ であることを示せば、問題文の写像 $ϕ$ は well-defined であると言える。

$a, b \in G$ であるとき、 $a H = b H$ であるとする。
このとき、 $h_{1}, h_{2} \in H$ が存在して
$\begin{aligned} a h_{1} & = b h_{2} \end{aligned}$
これより
$\begin{aligned} a & = b h_{2} h_{1}^{- 1} \\ a^{- 1} & = h_{1} h_{2}^{- 1} b^{- 1} \end{aligned}$
が成り立つ。

従って
$\begin{aligned} H a^{- 1} & = H (h_{1} h_{2}^{- 1} b^{- 1}) \\ H a^{- 1} & = H b^{- 1} \end{aligned}$
が言える。ここで、 $H$ は $G$ の部分群であるので $H h_{1} h_{2}^{- 1} = H$ を用いた。

よって、写像　 $ϕ$ は well-defined である。

(b)
先ず、写像 $ϕ$ が全射であることを示す。
任意の $a \in G$ に対して、 $a^{- 1} \in G$ は $ϕ$ により $H (a^{- 1})^{- 1} = H a$ に移される。
従って、写像　 $ϕ$ は全射である。

次に単射であることを示す。
$\begin{aligned} H a^{- 1} & = H b^{- 1} \end{aligned}$
であるとすると、 $h_{1}, h_{2} \in H$ が存在して
$\begin{aligned} h_{1} a^{- 1} & = h_{2} b^{- 1} \end{aligned}$
が成り立つ。