アーベル群の例(2)

群 $G$ の任意の2つの元 $a,b\in G$ を考える。
このとき、
$$\begin{array}{rl}a\circ b& =(e\circ a)\circ b\\ & =((b\circ b)\circ a)\circ b\\ & =(b\circ (b\circ a))\circ b\\ & =b\circ ((b\circ a)\circ b)\\ & =b\circ ((b\circ a)\circ (b\circ (a\circ a)))\\ & =b\circ ((b\circ a)\circ ((b\circ a)\circ a))\\ & =b\circ (((b\circ a)\circ (b\circ a))\circ a)\\ & =b\circ (e\circ a)\\ & =b\circ a\end{array}$$
となり、$G$ はアーベル群となる。ここで $b\circ a\in G$ であるので、$(b\circ a{)}^2=e$ を用いた。