準同型写像の例と核｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

整数 $n$ に対して、写像 $L_{n} = z^{n}$ は次で定義される $T$ からそれ自身への準同型写像であることを示せ。
$\begin{aligned} T & = {z \in C | | z | = 1} \end{aligned}$

また、 $L_{n}$ の核を求めよ。

任意の $T$ の元 $z_{1}, z_{2} \in T$ は $z_{1} = e^{i θ_{1}}, z_{2} = e^{i θ_{2}}$ と書ける。ここに $θ_{1}, θ_{2} \in R$ とする。

このとき
$\begin{aligned} L_{n} (z_{1} \cdot z_{2}) & = L_{n} (e^{i (θ_{1} θ_{2})}) \\ = e^{i n (θ_{1} + θ_{2})} \\ = e^{i n θ_{1}} \cdot e^{i n θ_{2}} \\ = L_{n} (z_{1}) \cdot L_{n} (z_{2}) \end{aligned}$
が成り立つので、 $L_{n}$ は準同型写像である。

また、 $L_{n}$ の核は
$\begin{aligned} L_{n} (z) & = 1 \\ e^{i n θ} & = 1 \\ θ & = \frac{k}{n} 2 π (k = 0, 1, \dots, n - 1) \end{aligned}$
と求まるので
$\begin{aligned} K e r L_{n} & = {e^{i \frac{k}{n} 2 π} | k = 0, 1, 2, \dots, n - 1} \end{aligned}$
と求まる。