正規部分群の性質｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$H$ は群 $G$ の正規部分群であるとする。
$g_{1}, g_{1}^{'}, g_{2}, g_{2}^{'} \in G$ が $g_{1} H = g_{1}^{'} H, g_{2} H = g_{2}^{'} H$ を満たすとき
$g_{1} g_{2} H = g_{1}^{'} g_{2}^{'} H$ を示せ。

$g_{1} H = g_{1}^{'} H$ より、 $\exists h_{1}, h_{1}^{'} \in H$
$\begin{aligned} g_{1} \circ h_{1} & = g_{1}^{'} \circ h_{1}^{'} \end{aligned}$
が成り立つ。同様に、 $g_{2} H = g_{2}^{'} H$ より $\exists h_{2}, h_{2}^{'} \in H$
$\begin{aligned} g_{2} \circ h_{2} & = g_{2}^{'} h_{2}^{'} \end{aligned}$
が成り立つ。

$H$ は部分群であるので、任意の $H$ の元の逆元が $H$ の中に存在する。従って、得られた2つの式から
$\begin{aligned} g_{1}^{'} & = g_{1} \circ h_{1} \circ (h_{1}^{'})^{- 1} = g_{1} \circ h_{1}^{''} \\ g_{2}^{'} & = g_{2} \circ h_{2} \circ (h_{2}^{'})^{- 1} = g_{2} \circ h_{2}^{''} \end{aligned}$
が得られる。ここに $h_{1} \circ (h_{1}^{'})^{- 1} = h_{1}^{''}, h_{2} \circ (h_{2}^{'})^{- 1} = h_{2}^{''}$ とし、 $h_{1}^{''}, h_{2}^{''} \in H$ である。これより
$\begin{aligned} g_{1}^{'} \circ g_{2}^{'} & = g_{1} \circ h_{1}^{''} \circ g_{2} \circ h_{2}^{''} \end{aligned}$
いま、 $H$ は正規部分群であるので、 $g_{2} H = H g_{2}$ が成り立つ。すなわち、 $\exists h^{'''} \in H$
$\begin{aligned} g_{2} \circ h^{'''} & = h_{1}^{''} \circ g_{2} \end{aligned}$
となる。