ベクトルポテンシャルの存在証明

題意を満たすベクトル場\(\vec{B}(x, y, z)\)は一意的には決まらないが、たとえば、\(B_z(x, y, z) = 0\)となるようなものを\(\vec{A}(x, y, z)\)を使って下のようにして構成することが出来る。
\(B_x, B_y, B_z\)を各々\(\vec{B}\)の\(x, y, z\)成分とし、\((a, b, c)\)を領域\(V\)内の任意の点とすると、
\[\begin{align}
B_x(x, y, z) &= \int_c^z A_y(x, y, t) {\rm d} t \\
B_y(x, y, z) &= – \int_c^z A_x(x, y, t) {\rm d} t + \int_a^x A_z(t, y, c) {\rm d} t \\
B_z(x, y, z) &= 0
\end{align}\]
で定義されるベクトル場\(\vec{B}(x, y, z)\)は題意を満たす。
実際に
\[\begin{align}
\left({\rm rot}\ \vec{B}\right)_x &= \frac{\partial B_z}{\partial y} – \frac{\partial B_y}{\partial z} = A_x(x, y, z) \\
\left({\rm rot}\ \vec{B}\right)_y &= \frac{\partial B_x}{\partial z} – \frac{\partial B_z}{\partial x} = A_y(x, y, z) \\
\left({\rm rot}\ \vec{B}\right)_z &= \frac{\partial B_y}{\partial x} – \frac{\partial B_x}{\partial y} \\
&= – \int_c^z \frac{\partial A_x(x, y, t)}{\partial x} {\rm d} t + A_z(x, y, c) – \int_c^z \frac{\partial A_y(x, y, t)}{\partial y} {\rm d} t \\
&= \int_c^z \frac{\partial A_z(x, y, t)}{\partial t} {\rm d} t + A_z(x, y, c) \\
&= A_z(x, y, z)
\end{align}\]
となり、
\[
\vec{A}(x, y, z) = {\rm rot}\ \vec{A}(x, y, z)
\]
を満たすことが分かる。
ここで、\({\rm div}\ \vec{A}(x, y, z) = 0\)から
\[
\frac{\partial A_x(x, y, z)}{\partial x} + \frac{\partial A_y(x, y, z)}{\partial y} + \frac{\partial A_z(x, y, z)}{\partial z} = 0
\]
を用いた。